スープの瞳に恋してる






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2006年07月23日(Sun)
スープの瞳に恋してる
微積分の道具の一つに、上限(sup,スープと読む)というものがあるのですが、これが大変便利。

このsupというのは、広い意味での最大値のようなもので、ある関数の値を上から規定する働きをもつものです。

たとえば、sup f(x)といえば、f(x)の値はsup f(x)を超えない、ということを表します。最大値との違いは、f(x)がsupの値をとる必要がないということ。なので、最大値はsupの中に含まれます。

厳密に話すと連続性とか出てくるので説明はこのくらいにして、このsupの便利な例を挙げときましょう。下の例では積分区間をa〜bとします。||は絶対値記号です。

f(x)がa≦x≦bで有界(値が∞にならない)とするとき、

|∫f(x)dx | ≦ |sup f(x)| ×∫dx = |sup f(x)| × (b-a) → 0  (b→a)
よって
∫f(x)dx → 0  (b→a)

となり、f(x)が具体的にどんな値になるのか分からなくても、b→aのとき∫f(x)dxが0に収束することが言えるわけです。

〜〜〜4月24日追記〜〜〜
|sup f(x)| × (b-a) → 0  (b→a)
については
(有限な値)×(無限小)=(無限小)
を使っています。
|sup f(x)|=M(定数)
と考えてみてください^^
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

そんなん当たり前じゃないか、と頭のいい皆さんは考えると思うのですが、もちろんここであげたのは非常に簡単な例でして、supは本当いろいろと使えるのです。


数学には後になってようやく存在意義が分かるものってのが本当よくあります。でも、どうせだったら最初にsupという概念を出したときに使い方の例も挙げてほしかったなぁ・・・。


writebacks(2)
微積が危機的状況です Posted by リンダ さん at 2007/04/21 19:36
|sup f(x)| × (b-a) → 0  (b→a)
の理由が分かりません

>リンダさん Posted by アージー さん at 2007/04/24 07:21
(有限な値)×(無限小)=(無限小)
というやつです。
|sup f(x)|=M(定数)
と考えてみてください^^

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